Uzdevums:

8p.
Virkne an uzdota rekurenti: a1=1;  an+1=2an+3. n.
Pierādīt, ka šīs virknes vispārīgo locekli an var definēt ar formulu an=2n+13.
  
Papildini pierādījumu!
  
Indukcijas bāze.
Formulā an=2n+13 ievietojot \(n=1\), iegūst a1=21+13=i. Tātad , ja \(n=1\), formula ir pareiza.
 
Induktīvais pieņēmums.
Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad ak=2k+13.
Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i., ak+1=2k+1+13, vienkāršojot ak+1=ik+i3.
 
Pierādījums:
No tā, ka pēc dotā
, pēc induktīvā pieņēmuma
,
iegūstam, ka
.
Atverot iekavas iegūst
.
Savelkot līdzīgos, iegūst
.
 
Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām formula 
 ir pareiza.
 
Atbilžu varianti:
ak+1=22k+16+3
ak+1=22k+13+3
an+1=2an+3
ak+1=2k+23
an=2n+13
ak=2k+13
Atsauce:
 
S. Grunsberga. L. Stāmure. Standartuzdevumialgebrā ar risinājumu piemēriem. Lielvārds 2003.
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!