Algebriska daļa. MIP — uzdevums. Matemātika, 10. klase.

Pierādīt, ka katram naturālam n izpildās apgalvojums

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 n - 4) (5 n + 1)} = \frac{n}{5 n + 1}

Papildini doto pierādījumu ar skaitļiem vai burtiem!

Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n).\)

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad

\begin{array}{l} \frac{1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{5 \cdot 1 + i} \\ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{array}

Redzams, ka vienādība ir patiesa.

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 k - 4) (5 k + 1)} = \frac{i}{5 k + 1}

Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1):\)

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 (k + 1) - 4) (5 (k + 1) + 1)} = \frac{k + 1}{5 (k + 1) + 1}

jeb, vienkāršojot,

\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... + \frac{1}{(5 k + i) (5 k + 6)} = \frac{k + 1}{5 k + 6}

Uzrakstām vienādības kreiso pusi, pievienojot arī pirmspēdējo saskaitāmo,

(\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + ... \frac{1}{(5 k - 4) (5 k + 1)}) + \frac{1}{(5 k + 1) (5 k + 6)}

Izmanto induktīvo pieņēmumu:

\frac{i}{5 k + 1} + \frac{1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} =

\begin{array}{l} = \frac{k^{((5 k + 6)}}{5 k + 1} + \frac{1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} = \\ = \frac{5 k^{2} + 6 k + 1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} = ... \end{array}

Kvadrāttrinomu sadala reizinātājos

\begin{array}{l} 5 k^{2} + 6 k + 1 = 0 \\ k_{1} = - \frac{1}{5}; k_{2} = - 1 \end{array}

5 k^{2} + 6 k + 1 = 5 (k + \frac{1}{5}) (k + 1)

5 k^{2} + 6 k + 1 = (i k + 1) (k + 1)

\begin{array}{l} \frac{5 k^{2} + 6 k + 1}{(5 k + 1) (5 k + 6)} = \\ = \frac{(5 k + 1) (k + 1)}{(5 k + 1) (5 k + 6)} = \\ = \frac{k + 1}{5 k + 6} \end{array}

ko arī vajadzēja pierādīt.

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

4. Algebriska daļa. MIP