Teorija

Piemērs:
Pierādīt, ka n3+5n dalās ar \(6\), ja n- naturāls skaitlis. 
Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n).\)
Indukcijas bāze.
Ja \(n=1\), tad 13+51=6 dalās ar \(6\).
  
Induktīvais pieņēmums.
Pieņemsim, ka apgalvojums \(A(k)\) - patiess, t.i., pieņemsim, ka k3+5k dalās ar \(6\).
  
Induktīvā pāreja.
Pārbaudīsim, vai patiess \(A(k+1), \)t.i., pārbaudīsim vai k+13+5k+1 dalās ar \(6\).k+13+5k+1==k3¯+3k2+3k+1¯¯+5k¯+5¯¯==k3+5k+3k2+3k+6

Pēc induktīvā pieņēmuma par \(A(k)\) patiesumu k3+5k dalās ar \(6\). Skaidrs, ka \(6\) dalās ar \(6.\) Tātad induktīvā pāreja būs pierādīta, ja pratīsim pierādīt, ka 3k2+3k dalās ar \(6\) vai, kas ir tas pats, ka k2+k dalās ar \(2\).
To, ka k2+k dalās ar \(2\), var pierādīt, ievērojot, ka k2+k=kk+1 un viens no diviem pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem \(k\) un \(k+1\) ir pāra skaitlis. Pāra un nepāra skaitļu reizinājums ir pāra skaitlis, tātad k2+k dalās ar \(2\).
 
Tātad summa k3+5k+3k2+3k+6 dalās ar \(6\).
 
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
 
Piezīme.
Faktu ka k2+k dalās ar \(2\), var pierādīt arī ar matemātisko indukciju. Izdari to patstāvīgi!
Var gadīties, ka vienā piemērā matemātiskās indukcijas metode jālieto vairākas reizes.
 
 
Atsauce:
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja