Uzdevums:

4♦
Dotas \(9\) pēc ārējā izskata vienādas monētas, no kurām \(2\) ir viltotas. Visu īsto monētu masas ir vienādas. Arī abām viltotajām monētām ir vienāda masa, bet tā ir lielāka nekā īstās monētas masa. Kā ar \(4\) svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem atrast abas viltotās monētas?
Papildini doto risinājumu, katrā atbilžu lodziņā rakstot vienu burtu!
  
Sanumurēsim monētas ar skaitļiem no \(1\) līdz \(9\) un sadalīsim grupās pa trim: 
\(a = \{1, 2, 3\}\), \(b = \{4, 5, 6\}\), \(c = \{7, 8, 9\}\).
Abas viltotās monētas var atrasties vienā grupā vai arī divās dažādās grupās.
 
Vispirms svērsim grupas.
Ar divām svēršanām noskaidrosim, kurās grupās atrodas viltotās monētas.
 
Salīdzinām grupu \(a\) ar grupu \(b\), tad smagāko no tām (vai jebkuru, ja tās vienādas) salīdzinām ar grupu :
ja \(a > b\) (tad grupā \(b\) visas monētas ir īstas) un
  • \(a > c\), tad abas viltotās monētas ir grupā ;
  • \(a = c\), tad viena viltotā monēta ir grupā \(a\), otra – ;

ja \(a = b\) (tad abās grupās ir vienāds skaits viltoto monētu) un
  • \(a > c\), tad viena viltotā monēta ir grupā \(a\), otra – ;
  • \(a < c\), tad abas viltotās monētas ir grupā .
 
Gadījums, kurā \(a < b\), ir analoģisks gadījumam, kurā \(a > b\).
Tā ar divām svēršanām esam noskaidrojuši viltoto monētu sadalījumu pa grupām.
 
Tālāk katrā grupā, kur ir kāda viltotā monēta, uz katra svaru kausa uzliekot pa vienai monētai un vienu atstājot malā, ar vienu svēršanu var noskaidrot, kura ir viltotā:

ja grupā ir viena viltotā monēta un
  • svaru kausi nav līdzsvarā, tad smagākā ir ;
  • svaru kausi ir līdzsvarā, tad šīs abas ir īstas un viltota ir tā trešā, kas stāv malā;
ja grupā ir divas viltotas monētas un
  • svaru kausi ir līdzsvarā, tad tās abas ir ;
  • svaru kausi nav līdzsvarā, tad vieglākā ir , bet abas pārējās (smagākā un tā, kas stāv malā) ir .
 
Atsauce:
http://nms.lu.lv/uzdevumu-arhivs/latvijas-olimpiades/

Lai risinātu uzdevumus, lūdzu reģistrējies!

Ātra reģistrācija: