Teorija

Jaunākajās klasēs matemātikā noteikti visi ir sastapušies ar uzdevumu, kura atrisināšanai vajag nedaudz atjautības un uzmanības:
Piemērs:
Ja Ilze var klasi sakārtot 20 minūtēs, bet Māris 30 minūtēs, cik ilgi kārtos klasi abi dežuranti, strādājot kopā?
Protams, ka atbilde nav 50 minūtes, jo viens pats jau visu var paveikt daudz ātrāk. Kopīgais laiks noteikti būs mazāks par 20 min.
 
Šādus uzdevumus, kur darba apjoms nav norādīts (ne kvadrātmetri, ne kilometri, utt.), bet divi vai vairāki strādnieki (vai mašīnas) kaut kādā laikā veic darbu, risina, izmantojot daļas.
 
kop5.bmp
Visa klase ir attēlota ar taisnstūri, kas sadalīts 60 laukuma vienībās.
20 ... tik minūtēs Ilze var sakārtot visu klasi.
 
30 ... tik minūtēs Māris var sakārtot visu klasi.
kop2.bmp
120 ... tādu daļu no klases sakārto Ilze 1 minūtē.
kop3.bmp130 ... tādu daļu no klases sakārto Māris 1 minūtē.
kop4.bmp120+130 ... tādu daļu no klases sakārto 1 minūtē abi dežuranti, strādājot kopā.
1(620+1(430=10120=112
 kop1.bmp
Cik ilgi jāstrādā, lai paveiktu visu darbu, lai sakārtotu visu klasi? Visa klase - tas ir viens vesels. Ar cik jāreizina 1/12, lai iegūtu 1?
 
Vai arī: cik reižu 1/12 ietilpst vienā veselā? To var aprēķināt ar dalīšanas darbību:
1:112=1121=12
Atbilde:
Abi dežuranti, kopā strādājot, klasi sakārtos 12 minūtēs.
 
Šajā uzdevumā taisnstūris attēlo klases telpu, bet tas var ilustrēt jebkuru veicamo darbu, piemēram, grāvja rakšanu, manuskripta pārrakstīšanu, medus poda izēšanu utml.  
 
8. klasē un vidusskolā uzdevumi par kopīgo darbu ir sarežģītāki un tos jāprot risināt, sastādot vienādojumus (skat. nākamo teoriju). Tomēr piemērā dotie soļi paliek nemainīgi.
 
1)... tik ilgā laikā pirmais strādnieks var paveikt visu darbu.
 
2)... tik ilgā laikā otrais strādnieks var paveikt visu darbu.
 
3)... tādu daļu no visa darba 1 laika vienībā var paveikt pirmais strādnieks.

4)... tādu daļu no visa darba 1 laika vienībā var paveikt otrais strādnieks.

5)... tādu daļu no visa darba 1 laika vienībā var paveikt abi strādnieki, kopā strādājot.
 
6) seko izteiksme vai vienādojums, ar kura palīdzību aprēķina kopīgi patērēto laiku.