Teorija

Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, ja iepriekšējam pieskaita vienu un to pašu skaitli (diferenci \(d\)), sauc par aritmētisko progresiju.
Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula ir an=a1+n1d
Ja izvēlas trīs citu citam sekojošus trīs locekļus, ir spēkā īpašība:
an=an1+an+12
 
Piemēram: ja dota aritmētiskā progresija 2,6,10,14,18,..., redzam, ka
6=2+102, 14=10+182 utt.
 
Aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summa ir
Sn=a1+ann2 jeb Sn=a1+nn12d
 
Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējo locekli sareizinot ar vienu un to pašu skaitli (kvocientu q), sauc par ģeometrisko progresiju.
Ģeometriskās progresijas vispārīgā locekļa formula ir bn=b1qn1
 
Ja izvēlas trīs citu citam sekojošus locekļus, ir spēkā īpašība:
bn2=bn1bn+1
Piemērs:
Ja dota ģeometriskā progresija 3,6,12,24,48,..., tad viegli pārbaudīt, ka
62=312, 122=624, utt.

Ģeometriskās progresijas pirmo n locekļu summa ir
Sn=b11qn1q jeb Sn=b1qbn1q
Skolas kursā reti lieto šo formulu, bieži vien ir vienkāršāk izrēķināt katru locekli atsevišķi un tos saskaitīt.
Svarīgi zināt un lietot bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulu.
 
Ģeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu, ja tās kvocients q pēc moduļa ir mazāks par 1 (q<1).
Tātad kvocients var būt gan negatīvs, gan pozitīvs lielums.
Piemēram, kvocients var būt 0,3;12;13;78.
 
Par bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas locekļu summu sauc skaitli, uz kuru tiecas šīs progresijas pirmo n locekļu summa, n vērtībai neierobežoti palielinoties.
S=b11q
 
Piemērs:
rinkis 2.JPG
 
Riņķa līnijā, kuras rādiuss ir 10 cm, ievilkts kvadrāts, kvadrātā ievilkta riņķa līnija utt. - bezgalīgi daudz kvadrātu un riņķa līniju (skat. zīm.). Aprēķini visu kvadrātu perimetru summu.
 
Risinājums:
Pārbaudīsim, vai kvadrātu perimetri veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju.
Viegli aprēķināt: ja riņķa līnijas rādiuss ir 10 cm, tad ievilktā kvadrāta mala ir 102 cm, nākošā kvadrāta mala ir 10 cm, nākošā 52 cm utt.
 
Kvadrātu perimetri veido virkni 402;40;202;..., kuras kvocients ir q=22.
b2b1=40402=12=22b2b3=20240=22
utt.
Redzams, ka q=22<1
Izmanto bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulu:
S=b11q=402122=402222=80222
Iegūto izteiksmi vienkāršo tālāk, atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā:
S=80222=8022+2222+2=1602+16042=802+80
 
Atbilde: visu kvadrātu perimetru summa ir 802+80 cm
  
Piemērs:
Pārveido skaitli 0,17 par parastu daļu!
 
Risinājums:
Jebkuru skaitli var uzrakstīt kā summu.
0,17=0,1717171717...=0,17+0,0017+0,000017+...
Summas saskaitāmie veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, kurā q=0,01, bet pirmais loceklis ir 0,17.
Izmanto summas formulu: S=b11q=0,1710,01=0,170,99=1799.
  
Atbilde: 0,17=1799