Teorija

1. "Caur taisni un punktu, kas tai nepieder var novilkt vienu vienīgu plakni."
 plakne_1.PNG
 
Pierādījums:
  1. Aplūkosim taisni \(a\) un punktu \(M\), kas neatrodas uz šīs taisnes.
  2. Uz taisnes \(a\) izvēlēsimies punktus \(B\) un \(C\).
  3. Tā kā visi \(3\) punkti neatrodas uz vienas taisnes, tad no otrās aksiomas seko, ka caur punktiem \(B\), \(C\) un \(M\) var novilkt vienu vienīgu plakni α.
  4. Taisnes \(a\) punkti \(B\) un \(C\) atrodas plaknē α, tāpēc no trešās aksiomas seko, ka plakne iet caur taisni \(a\) un, protams, arī caur punktu \(M\).
2. "Caur divām krustiskām taisnēm var novilkt vienu vienīgu plakni."
plakne_2.PNG
 
Pierādījums:
  1. Aplūkosim taisnes \(a\) un \(b\), kuru krustpunkts ir M.
  2. Izvēlēsimies punktu \(K\) uz taisnes \(a\) un punktu \(L\) uz taisnes \(b\) tā, lai tie nesakrīt ar punktu \(M\).
  3. No otrās aksiomas seko, ka caur punktiem \(K\), \(L\) un \(M\) var novilkt vienu vienīgu plakni α. Tādā gadījumā taisnes \(a\) un \(b\) atrodas plaknē α (vadoties pēc trešās aksiomas).
Piemērs:
Doti krustiski nogriežņi \(AC\) un \(BD\). Pierādīt, ka visi nogriežņi \(AB\), \(BC\), \(CD\) un \(DA\) atrodas vienā plaknē!
 
Atrisinājums:
  1. No 2. teorēmas seko, ka caur \(AC\) un \(BD\) var novilkt vienu vienīgu plakni, ko apzīmēsim ar α. Tas nozīmē, ka punkti \(A\), \(B\), \(C\) un \(D\) ir plaknes α punkti.
  2. Savukārt no 3. aksiomas ir zināms, ka tad visi taišņu \(AB\), \(BC\), \(CD\) un \(DA\) punkti pieder plaknei α. Tāpēc visi attiecīgie nogriežņi atrodas šajā plaknē.
plakne_3.PNG
 
Atsauce:
Ģeometrijas vidusskolai / Baiba Āboltiņa, Pēteris Čepuls; Rīga,  Zvaigzne ABC 2000. gads / 44.-46. lpp