Teorija

"Divas taisnes sauc par paralēlām, ja tās atrodas vienā plaknē un nekrustojas."
  
"Uzskata, ka jebkura taisne ir paralēla pati sev.
Taišņu \(a\) un \(b\) paralelitāti apzīmē šādi: ab vai ba.
 
1. "Caur divām paralēlām taisnēm var novilkt vienu vienīgu plakni."
plakne_4.PNG
 
Pierādījums:
  1. Tā kā taisnes \(a\) un \(b\) ir paralēlas, tad no definīcijas seko, ka caur tām var novilkt plakni α.
  2. Lai pierādītu, ka šāda plakne ir tikai viena, uz taisnes \(a\) izvēlamies punktus \(B\) un \(C\), bet uz taisnes \(b\) - punktu \(A\).
  3. Tā kā caur trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, var novilkt vienu vienīgu plakni (2. aksioma), tad α ir vienīgā plakne, kas satur paralēlās taisnes \(a\) un \(b\).
 
2. "Telpā caur punktu ārpus taisnes var novilkt vienu vienīgu taisni, kas paralēla dotajai."
plakne_5.PNG
 
Pierādījums:
  1. Caur doto taisni \(a\) un punktu \(M\), kas neatrodas uz tās, novilksim plakni α.
  2. Šāda plakne ir tikai viena (jo "Caur taisni un plakni, kas tai nepieder var novilkt vienu vienīgu plakni").
  3. Bet plaknē α caur punktu \(M\) var novilkt tikai vienu taisni \(b\), kas ir paralēla taisnei \(a\).
 
3. "Ja viena no divām paralēlām taisnēm krusto plakni, tad arī otra taisne krusto šo plakni."
plakne_6.PNG
Pierādījums:
Aplūkosim divas paralēlas taisnes \(a\) un \(b\) un pieņemsim, ka taisne \(a\) krusto plaki α (1. attēls).
 
No 1. teorēmas ir zināms, ka caur paralēlām taisnēm \(a\) un \(b\) var novilkt vienu vienīgu plakni β. Tā kā punkts \(M\) atrodas uz taisnes \(a\), tad \(M\) pieder arī plaknei β.
 
Ja plaknēm α un β ir kopīgs punkts \(M\), tad šīm plaknēm ir kopīga taisne \(c\), kas ir šo plakņu šķēlumu taisne (4. aksioma). Un tad taisnes \(a\), \(b\) un \(c\)atrodas plaknē β.
 
Ja šajā plaknē viena no paralēlajām taisnēm \(a\) krusto taisni \(c\), tad arī otra taisne \(b\) krusto \(c\). Apzīmēsim taišņu \(b\) un \(c\)krustpunktu ar \(K\).
 
Tā kā punkts \(K\) atrodas uz taisnes \(c\), tad \(K\) atrodas plaknē α un ir vienīgais taisnes \(b\) un plaknes α kopīgais punkts. Tātad taisne \(b\) krusto plakni α punktā \(K\).
 
4. "Ja katra no divām taisnēm ir paralēla trešajai taisnei, tad tās abas ir savstarpēji paralēlas."
plakne_8.PNG
Dots: ac,bc
Jāpierāda: ab
 
Pierādījums:
Izvēlēsimies punktu \(M\) uz taisnes \(b\).
Tātad caur punktu \(M\) un taisni a, kas nesatur šo punktu, var novilkt vienu vienīgu plakni α ("Caur taisni un punktu, kas tai nepieder var novilkt vienu vienīgu plakni").
 
Būtībā ir iespējami tikai divi gadījumi:
  1. taisne \(b\) krusto plakni α;
  2. taisne \(b\) atrodas plaknē α.
  
Pieņemsim, ka taisne \(b\) krusto plakni α.
 Tad taisne \(c\), kas ir paralēla taisnei \(b\), arī krusto plakni α. Tā kā ac, tad jāsecina, ka arī \(a\) krusto šo plakni. Bet taisne \(a\) nevar vienlaikus krustot plakni α un atrasties plaknē α. Tas nozīmē, ka ir iegūta pretruna un pieņēmums, ka taisne \(b\) krusto plakni α, ir aplams.
Tātad patiess būs 2. gadījums - taisne \(b\) atrodas plaknē α.
 
Tagad pierādīsim, ka taisnes \(a\) un \(b\) ir paralēlas.
Pieņemsim pretējo: taisnēm \(a\) un \(b\) ir kopīgs punkts \(L\).
 
Tas nozīmē, ka caur punktu \(L\) ir novilktas divas taisnes \(a\) un \(b\), kas paralēlas taisnei \(c\). Saskaņā ar 2. teorēmu - tas nav iespējams. Tāpēc pieņēmums ir aplams, un taisnes \(a\) un \(b\) ir bez kopīgiem punktiem.
Tā kā taisnes \(a\) un \(b\) atrodas vienā plaknē α un tām nav kopīgu punktu, tad tās ir paralēlas.
  
"Visu to telpas taišņu kopu, kuras ir paralēlas ar kādu dotu taisni, sauc par \(paralēlo taišņu kūli\)."
Secinājumi:
  1. Paralēlu taišņu kūļa jebkuras divas taisnes ir savstarpēji paralēlas.
  2. Taišņu paralelitātei telpā piemīt transitivitātes īpašība: abunbcac.
 
Piemērs:
Paralelograma viena mala krusto plakni. Pierādīt, ka taisne, uz kuras atrodas kāda cita paralelograma mala, arī krusto šo plakni.
plakne_66.PNG
Pieņemsim, ka paralelograma \(ABCD\) mala \(AB\) krusto plakni α punktā \(K\).
Tā kā paralelograma pretējās malas ir paralēlas, tad saskaņā ar 3. teorēmu arī taisne, uz kuras atrodas mala \(CD\), krusto šo plakni α."
  
Atsauce:
Ģeometrijas vidusskolai / Baiba Āboltiņa, Pēteris Čepuls; Rīga,  Zvaigzne ABC 2000. gads / 46.- 50. lpp