29.
maijā
Eksāmens ĶĪMIJĀ 12. klasei
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Permutācijas ir variāciju speciālgadījums, ja izlase ir tikpat liela, cik dotā kopa.
Variācijas no \(n\) elementiem pa \(n\) elementiem sauc par permutācijām no n elementiem.
  
Aprēķinot permutāciju skaitu, nosaka, cik veidos var pārkārtot kopas elementus, nemainot to skaitu.
Permutāciju skaitu apzīmē ar simbolu Pn, kur \(n\) - elementu skaits kopā.
Permutācijas aprēķina pēc formulas Pn=n!
 
Ja dota divu elementu kopa a;b, no  šīs kopas iespējams izveidot divas sakārtotas izlases: \(a; b\) un \(b; a\).
No diviem elementiem (\(n = 2\)) var izveidot divas permutācijas, t.i. P2=2!=12=2.
  
Ja doti trīs elementi {a;b;c}, šīs kopas permutācijas ir:
1) \(a; b; c\) 
2) \(a; c; b\)
3) \(b; a; c\)
4) \(b; c; a\)
5) \(c; a; b\)  
6) \(c; b; a\)
Dotos elementus var sakārtot sešos veidos, t.i., P3=3!=123=6
Atceries, kombināciju uzdevumā nav svarīgi uzskaitīt pašas izlases, pietiek atbildēt uz jautājumu: cik?
 
Piemērs:
1. Cik dažādos viedos var sastādīt skolēnu sarakstu, kurā ir \(6\) skolēni?
P6=6!=654321=720
 
Atbilde: Skolēnu sarakstu var sastādīt \(720\) dažādos veidos!
Piemērs:
2. Sacensībās piedalījās \(6\) komandas: A; B; C; D; E un F. Cik ir tādu komandu sakārtojumu no pirmās līdz sestajai vietai, kur komanda A nav ne pirmajā, ne pēdējā vietā?
 
1) Aprēķina visus iespējamos komandu sakārtojumus!
(Komandai A ir iespējamas \(6\) dažādas pozīcijas: 1. vieta, 2. vieta, 3. vieta ... 6. vieta)
P6=6!=654321=720
 
2) Aprēķina iespējamos sakārtojumus, kuros komanda A nav pirmajā vietā!
(Tātad komandai A ir iespējamas tikai \(5\) dažādas pozīcijas; 2. vieta, 3. vieta ... 6. vieta)
P5=5!=54321=120
 
3) Aprēķina iespējamos sakārtojumus, kuros komanda A nav pēdējā vietā!
(Tātad komandai A ir iespējamas \(5\) dažādas pozīcijas; 1. vieta, 2. vieta, 3. vieta, 4. vieta, 5. vieta)
P5=5!=54321=120
 
4) Aprēķina cik ir tādu komandu sakārtojumu no pirmās līdz sestajai vietai, kuros komanda A nav ne pirmajā vietā, ne pēdējā vietā! Atņem no visām iespējamajām pozīcijām aprēķinātos ierobežojumus: \(720 - (120+120) = 480\) (sakārtojumi).
 
Atbilde: var izveidot \(480\) tādus komandu sakārtojumus, kurā komanda A nav ne pirmā, ne pēdējā.
 
Noskaties Mācību video, lai labāk iemācītos risināt kombinatorikas uzdevumus:

Atsauce:
Palīgs vidusskolēnam - Algebra 4. daļa /Inese Lazdiņa, Elizabete Mangule - Rīga: Raka, 2006. - 28. lpp