Teorija

Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst, ja iepriekšējam pieskaita vienu un to pašu skaitli (diferenci \(d\)), sauc par aritmētisko progresiju
Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa formula ir an=a1+n1d.
Ja izvēlas trīs secīgus virknes locekļus, ir patiesa īpašība:
an=an1+an+12
Piemērs:
Ja dota aritmētiskā progresija \(2\); \(6\); \(10\); \(14\); \(18\); ...., redzam:
6=2+10214=10+182
utt. 
Aritmētiskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summa ir
Sn=a1+ann2
Piemērs:
Taisnleņķa trijstūra īsākā katete ir \(6\ \mathrm{cm}\). Aprēķini pārējo malu garumus, ja zināms, ka šī trijstūra malu garumi veido aritmētisko progresiju.

Risinājums:
Ja \(d\) ir aritmētiskās progresijas diference, tad malu garumus var izteikt šādi:
\(b = 6\)
\(a = 6 + d\)
\(c = 6 + 2d\)
 
Taisnleņķa trijstūrim izpildās Pitagora teorēma:
c2=a2+b26+2d2=6+d2+6236+24d+4d2=36+12d+d2+363d2+12d36=0d2+4d12=0d1=2d2=6(neder)

Ja diference ir \(d = 2\), tad \(a = 8\) \(\mathrm{cm}\); \(c = 10\) \(\mathrm{cm}\).
(Diference nevar būt negatīva, jo tad hipotenūzas garums būtu negatīvs lielums)

Atbilde: Trijstūra malu garumi ir \(6\) \(\mathrm{cm}\); \(8\) \(\mathrm{cm}\); \(10\) \(\mathrm{cm}\).
  
Piemērs:
Ķermenis brīvā kritiena pirmajā sekundē veic \(4,9\) \(\mathrm{m}\), bet katrā nākamā par \(9,8\) \(\mathrm{m}\) vairāk. Aprēķini šahtas dziļumu, ja tas sasniedz tās apakšu pēc \(5\) sekundēm.

Risinājums:
Pirmais loceklis \(a_1 = 4,9\) \(\mathrm{m}\), diference \(d = 9,8\) \(\mathrm{m}\), locekļu skaits \(n = 5\).

Šahtas dziļums ir katrā no piecām sekundēm veikto attālumu summa.
 
Vispirms jāaprēķina virknes pēdējais loceklis:
a5=4,9+519,8=44,1S5=a1+a552=4,9+44,152=122,5m

Atbilde:
Šahtas dziļums ir \(122,5\) metri.
 
Vienkāršus uzdevumus par aritmētisko progresiju vari vingrināties 8. klases tēmā Virknes. Aritmētiskā progresija.
Formulas var atrast matemātikas eksāmena formulu lapā: formulas