Teorija

Funkciju, kuras vispārīgais veids ir y=ax2+bx+c, kur \(a\), \(b\), \(c\) ir reāli skaitļi, \(a \neq 0\), sauc par kvadrātfunkciju.
Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.
 
Definīcijas apgabals \(D(f)\) ir visi reālie skaitļi.

Vērtību apgabalu \(E(f)\) nolasa no grafika, tas ir atkarīgs no parabolas virsotnes \(y\) koordinātas un no zaru vērsuma.
  • 1. piemērā Ef=[2;+);
  • 2. piemērā Ef=(;2].
Svarīgi!
Parametrs \(a\) nosaka zaru vērsumu:
ja \(a > 0\), tad zari ir uz augšu (skat 1. piem.)
ja \(a < 0\), tad zari ir uz leju (skat 2. piem.)
 
Parametrs \(c\) norāda, kurā punktā parabola krusto \(y\) asi.
Lai konstruētu kvadrātfunkcijas grafiku:
  1. aprēķina parabolas virsotnes koordinātas: x0=b2a un \(y_0\), kuru iegūst, x0 ievietojot funkcijā;
  2. atliek virsotni koordinātu plaknē, novelk parabolas simetrijas asi;
  3. nosaka zaru vērsumu;
  4. atliek krustpunktu ar \(y\) asi;
  5. un tikai tad sastāda vērtību tabulu.
 
Atrisinot kvadrātvienādojumu ax2+bx+c=0, iegūst krustpunktus ar \(Ox\) asi jeb funkcijas saknes (ja diskriminants \(D>0\)):
  • ja \(D < 0\) tad, krustpunktu ar \(x\) asi nav,
  • ja \(D = 0\), tad parabolas virsotne atrodas uz \(x\) ass.
 
Piemērs:
Konstruē grafiku y=x22x1.
 
 x0=b2a=22=1y0=12211=2
 
 Zaru vērsums uz augšu, jo \(a = 1 > 0\).
 
 \(Oy\) asi krusto punktā \((0; -1)\).
 
\(x\)
\(2\)
\(3 \)
\(4\)
\(y\)
\(-1 \)
\(2 \)
\(7\)
Simetriski piezīmē parabolas kreiso pusi.
fun_11.png
 
Kvadrātfunkcijas virsotnes abscisu x0 var noteikt arī izmantojot funkcijas saknes:
x0=x1+x22 
Piemērs:
Nosaki kvadrātfunkcijas y=2x2+4x virsotnes koordinātas!
 
 
Redzam, ka šai funkcijai ir viegli aprēķināt saknes. Izmantosim to.
 
2x2+4x=0x(2x+4)=01)x=02)2x+4=0x=2x1=0;x2=2
 
Ja ir zināmas saknes, tad virsotnes koordinātas ir
x0=x1+x22=0+22=1y0=212+41=2
 
fun_12.png