Trijstūra laukums. Hērona formula — teorija. Matemātika, 10. klase.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

No pamatskolas ir zināmas šādas trijstūra laukuma formulas.

Taisnleņķa trijstūris	$S = \frac{a \cdot b}{2}$ , kur $a$ un $b$ ir katetes. Protams, taisnleņķa trijstūrim ir spēkā arī tās formulas, kuras der jebkuram trijstūrim.
Vienādmalu (regulārs trijstūris)	$S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , kur $a$ ir malas garums.
Jebkurš (patvaļīgs) trijstūris	$S_{Δ} = \frac{ab \sin γ}{2} S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}$ , kur $a$ un $b$ ir trijstūra malas, $γ$ ir leņķis, ko veido $a$ un $b$, $h$ - augstums, kas vilkts pret malu $a$.

Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.

Ja $a$, $b$ un $c$ ir trijstūra malas, tad laukums

\begin{array}{l} S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \\ p = \frac{a + b + c}{2} \end{array}

($p$ - pusperimetrs)

Matemātikas eksāmena formulu lapā var atrast gandrīz visas trijstūra laukuma formulas (izņemot taisnleņķa trijstūra laukumu): formulas

Piemērs:

Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir $17$ cm, $39$ cm, $44$ cm.

Risinājums:

\begin{array}{l} p = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50 \\ S_{Δ} = \sqrt{50 \cdot (50 - 17) \cdot (50 - 39) \cdot (50 - 44)} = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \\ = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3} = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 330 ({cm}^{2}) \end{array}

Atbilde: trijstūra laukums ir $330\ $

{cm}^{2}

Svarīgi!

Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos. Atceries:

\sqrt{a \cdot a} = a

Hērona formulu var izmantot trijstūra augstumu aprēķināšanā.

Piemērs:

Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir $15$ $\mathrm{cm}$, $13$ $\mathrm{cm}$, $4$ $\mathrm{cm}$.

Risinājums:

Lieto divas laukuma formulas:

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad $a = 15\ \mathrm{cm}$.

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = 24 ({cm}^{2})

Sastāda vienādojumu:

\begin{array}{l} \frac{15 \cdot h}{2} = 24 | \cdot 2 \\ 15 \cdot h = 48 \\ h = \frac{48}{15} = 3,2 (cm) \end{array}

Atbilde: trijstūra īsākais augstums ir $3,2$ $\mathrm{cm}$.

Dažreiz Hērona formulu lieto paralelograma laukuma aprēķināšanai: ja dotas tā malas un diagonāle.

Piemērs:

Dots paralelograms ar malu garumiem $17$ $\mathrm{cm}$ un $39$ $\mathrm{cm}$, diagonāles garums ir $44$ $\mathrm{cm}$. Aprēķini paralelograma laukumu.

Risinājums:

Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu

S_{paralelogramam} = 2 \cdot S_{Δ} = 2 \cdot 330 = 660 ({cm}^{2})

Atbilde: paralelograma laukums ir $660\ \mathrm{cm^2}$.

Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.

Hērona formulas pierādījumu var atrast 10. klases mācību grāmatā (1) 118. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

3. Trijstūra laukums. Hērona formula

Teorija