Teorija

No pamatskolas ir zināmas šādas trijstūra laukuma formulas.
 
Taisnleņķa trijstūris
S=ab2, kur \(a\) un \(b\) ir katetes.
Protams, taisnleņķa trijstūrim ir spēkā arī tās formulas, kuras der jebkuram trijstūrim.
Vienādmalu (regulārs trijstūris)
S=a234, kur \(a\) ir malas garums.
Jebkurš (patvaļīgs) trijstūris
SΔ=absinγ2SΔ=aha2, kur
 \(a\) un \(b\) ir trijstūra malas,
 γ  ir leņķis, ko veido \(a\) un \(b\),
 \(h\) - augstums, kas vilkts pret malu \(a\).
 
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.
Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums
SΔ=ppapbpcp=a+b+c2
 
(\(p\) - pusperimetrs)
 
Matemātikas eksāmena formulu lapā var atrast gandrīz visas trijstūra laukuma formulas (izņemot taisnleņķa trijstūra laukumu): formulas
  
Piemērs:
Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir \(17\) cm, \(39\) cm, \(44\) cm.
  
Risinājums:
p=17+39+442=50SΔ=50501750395044=5033116==2523111123=52311=330cm2
 
Atbilde: trijstūra laukums ir \(330\ \)cm2.
Svarīgi!
Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt  reizinātājos. Atceries: aa=a  
Hērona formulu var izmantot trijstūra augstumu aprēķināšanā.
Piemērs:
Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir \(15\) cm, \(13\) cm, \(4\) cm.
 
Risinājums:
Lieto divas laukuma formulas: SΔ=aha2 un SΔ=ppapbpc
Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad \(a = 15\) cm.
 
SΔ=ppapbpc=161312=24cm2

Sastāda vienādojumu:
15h2=24|215h=48h=4815=3,2(cm)
                                   
Atbilde: trijstūra īsākais augstums ir \(3,2\) cm         
Dažreiz Hērona formulu lieto paralelograma laukuma aprēķināšanai: ja dotas tā malas un diagonāle.
Piemērs:
Dots paralelograms ar malu garumiem \(17\) cm un \(39\) cm, diagonāles garums ir \(44\) cm. Aprēķini paralelograma laukumu.
 
Risinājums:
Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu
Sparalelogramam=2SΔ=2330=660(cm2)
 
Atbilde: paralelograma laukums ir \(660\)cm2
    
Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.
  
Hērona formulas pierādījumu var atrast 10. klases mācību grāmatā (1) 118. lpp.  
  
Atsauce:
Evija Slokenberga, Inga France, Ilze France Matemātika 10. klasei. Rīga: Lielvārds, 2009. 279 lpp. ISBN 978-9984-11-277-0
D.Taimiņa. Matemātikas vēsture. Rīga: Zvaigzne,1990.199 lpp. (40 .lpp.)