Teorija

Svarīgi!
Pitagora teorēmu un trigonometriskās sakarības var lietot tikai taisnleņķa trijstūra elementu aprēķināšanai.
Taisnleņķa trijstūra aprēķināšanai pietiek ar diviem dotiem lielumiem (divām malām vai leņķi un malu).
Patvaļīga trijstūra aprēķināšanai nepieciešami vismaz trīs doti lielumi.
 
Kosinusu teorēma:
4cepure.JPG
Trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu reizinājums ar ietvertā leņķa kosinusu:
a2=b2+c22bccosA
 
Kosinusu teorēmu parasti lieto, lai aprēķinātu:
  1. trešās malas garumu, ja dotas divas malas un leņķis starp tām;
  2. trijstūra leņķa lielumu, ja doti visu trīs malu garumi.
 
Tā kā viens no trijstūra leņķiem var būt arī plats, jāprot iegūt kosinusa vērtības platiem leņķiem ar redukcijas formulu palīdzību.  
Iegaumē redukcijas formulu: cos180°α=cosα
Piemērs:
Biežāk lietoto plato leņķu kosinusa vērtības:
cos120°=cos180°60°=cos60°=12cos150°=cos180°30°=cos30°=32cos135°=cos180°45°=cos45°=22cos100°=cos(180°100°)=cos10°
Ar kosinusu teorēmas palīdzību var aprēķināt gan trijstūra trešo nezināmo malu, gan trijstūra leņķus.
Piemērs:
Trijstūrī \(ABC\) malas \(AB=3\) cm un \(BC=5\) cm, bet leņķis \(B=120\)°. Aprēķini malas \(AC\) garumu!
Capture3.JPG
 
Dots:
\(AB=3\) cm, \(BC=5\) cm
B=120°
 
Jāaprēķina:
\(AC\)
 
Risinājums:
AC2=AB2+BC22ABBCcosBAC2=32+52235cos120°AC2=9+253012AC2=9+25+15AC2=49AC=7
(Sakne \(-7\) neder.)
 
Atbilde:
Trijstūra malas \(AC\) garums ir \(7\) cm.
Piemērs:
Capture3.JPG
Trijstūra malu garumi ir \(4\) cm, \(6\) cm, \(8\) cm. Aprēķini lielākā leņķa kosinusu!
 
Risinājums
 
Lielākais leņķis atrodas pretim garākajai malai, tāpēc raksta kosinusu teorēmu garākai malai:
82=42+62246cosB64=16+3648cosB64=5248cosB48cosB=526448cosB=12cosB=1248=14
 
Tā kā kosinuss ir negatīvs tikai platiem leņķiem, var secināt, ka dotais trijstūris ir platleņķa.
  
Atbilde:
Lielākā leņķa kosinuss ir 14
  
 Matemātikas eksāmenu lapā ir dota kosinusu teorēma: formulas