Lineāras izteiksmes ar vektoriem — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Lineāru izteiksmju vienkāršošana

Vektora reizināšanai ar skaitli piemīt šādas īpašības:
1)

k_{1} (k_{2} \vec{a}) = (k_{1} k_{2}) \vec{a}

k_{1} \vec{a} + k_{2} \vec{a} = (k_{1} + k_{2}) \vec{a}

k \vec{a} + k \vec{b} = k (\vec{a} + \vec{b})

Tāpēc ar izteiksmēm, kuros ir vektoru saskaitīšana, atņemšana un reizināšana, var darboties tāpat kā parastajā algebrā.

Piemērs:

2 (\vec{a} - \vec{b}) + (2 \vec{b} - \vec{a}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{b} - \vec{a} = \vec{a}

(Domās, bet vajadzības gadījumā var arī uz papīra.)

Vispirms atver abas iekavas:

2 (\vec{a} - \vec{b}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b}

(3. īpašība) un

(2 \vec{b} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - \vec{a}

.

Tad savelk kopā līdzīgos saskaitāmos un vienkāršo (2. īpašība):

2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{b} - \vec{a} = (2 - 1) \vec{a} + (- 2 + 2) \vec{b} = 1 \vec{a} + 0 \vec{b} = \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}

(nulles vektora pieskaitīšana neko nemaina).

Piemērs:

\vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}

(Domās)
Atver iekavas (izmanto arī 1. īpašību):

\frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a}) = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \cdot 2 \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - (\frac{1}{2} \cdot 2) \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - 1 \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}

Savelk kopā līdzīgos saskaitāmos:

\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} = (1 - 1) \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = 0 \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = \vec{0} + \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{b}

Atradi kļūdu?

6. Lineāras izteiksmes ar vektoriem