Par leņķi starp diviem vektoriem sauc mazāko nenegatīvo leņķi, par kādu jāpagriež viens vektors, lai tā vērsums sakrīt ar otra vektora vērsumu. Lielums leņķim starp vektoriem var būt intervālā .
Par divu no nulles atšķirīgu vektoru un skalāro reizinājumu sauc šo vektoru garumu un vektoru veidotā leņķa kosinusa reizinājumu.
, kur ir šaurākais leņķis starp abiem vektoriem.
Var rakstīt .
Skalārais reizinājums ir skaitlis.
Ja un , tad tad un tikai tad, ja .
Perpendikulāriem vektoriem un tātad arī to skalārais reizinājums ir . Un otrādi - no tā, ka divu vektoru skalārais reizinājums ir nulle, izriet šo vektoru perpendikularitāte.
Ja skalārā reizinājumā abi vektori ir vienādi, tad to sauc par vektora skalāro kvadrātu. vektora skalārais kvadrāts ir vienāds ar šī vektora garuma kvadrātu. Skat. nākamo teoriju.
Skalārā reizinājuma īpašības
1) komutatīvā īpašība
(skalārais reizinājums nav atkarīgs no reizinātāju kārtības).
2) Distributīvā īpašība
3) Asociatīvā īpašība attiecībā uz vektora reizinājumu ar skaitli
Pēdējās trīs īpašības ļauj vienkāršot izteiksmes ar vektoru skalārajiem reizinājumiem tieši tāpat, kā parastas izteiksmes ar nezināmajiem.
Piemērs:
Doti vektori un , leņķis starp abiem vektoriem ir . Aprēķini
1) ;
2) .
Risinājums
a) Pielieto skalārā reizinājuma formulu:
b) Vispirms izdara pārveidojumu - atver iekavas:
Aprēķina vērtību izteiksmei ar skalāro kvadrātu un skalāro reizinājumu:
Atbilde: a) \(16\), b) \(64.\)