Teorija

Matricas jēdzienu matemātikā 1850. gadā ieviesa angļu matemātiķis Dž.Silvesters (1814 – 1897), taču matricu teoriju plaši lieto ne tikai matemātikā un fizikā, bet arī inženierzinātnēs un ekonomikā.
 
Par matricu sauc taisnstūrveida skaitļu tabulu ar \(m\) rindām un \(n\) kolonnām. :
A=a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn
Skaitļus aij, piemēram, a11,a12,a13..amn, sauc par matricas elementiem. Ja matricas rindu skaits sakrīt ar kolonnu skaitu, to sauc par kvadrātisku matricu (\(m =n\)).
Saīsināti matricu apzīmē A=aij.
 
Kvadrātiskas matricas rindu (kolonnu) skaitu sauc par matricas kārtu.
 
Darbības ar matricām
Matricu, kuras visi elementi, izņemot galveno diagonāli, ir vienādi ar nulli, sauc par diagonālmatricu. Diagonālmatricu, kuras visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1, sauc par vienības matricu:
 
E=1000010000100001
 
 
Matricu transponēšana.
Par transponēto matricu sauc matricu AT, kuru iegūst no dotās matricas, rindas elementus mainot vietām ar atbilstošās kolonnas elementiem.
 
Matricu vienādība.
Divas matricas sauc par vienādām, ja tām vienādi izmēri un ir vienādi visi šo matricu atbilstošie elementi.
 
Matricu saskaitīšana un atņemšana.
Saskaitīt un atņemt drīkst tikai vienāda izmēra matricas. Saskaitot divas matricas, saskaita to atbilstošos elementus:
C=A+B,jacij=aij+bij
 
Divu matricu starpību iegūst, no pirmās matricas elementiem atņemot atbilstošos otrās matricas elementus.
C=AB,jacij=aijbij
 
Matricas reizināšana ar skaitli.
Matricas reizinājumu ar skaitli \(k\) iegūst, pareizinot to ar katru matricas elementu.
B=kA,jabij=kaij
 
Matricu reizināšana.
Svarīgi!
Matricas \(A\) un \(B\) reizināt drīkst tikai tad, ja matricas \(A\) kolonnu skaits sakrīt ar matricas \(B\) rindu skaitu.
Matricu \(A\) un \(B\) reizinājums ir matrica \(C\), kuras elementus iegūst, saskaitot matricas \(A\) \(i\)-tās rindas un \(B\)\(j\)-tās rindas atbilstošo elementu reizinājumus:
C=ABcij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+..+ainbnj
 
Vispārīgā gadījumā ABBA. Ja AB=BA, tad matricas sauc par komutatīvām.
 
Matricu kāpināšana.
Kāpināt drīkst tikai kvadrātiskas matricas. Matricas \(n\)-to pakāpi iegūst, \(n\) reizes pareizinot matricu pašu ar sevi:
 
A2=AA, A3=AA2=A2A, A4=AA3=A2A2=A3A