1. Logaritmiskā atvasināšana

Tāpēc, lai atvasinātu funkciju $y=x^x$, jāizmanto cita metode- logaritmiskā atvasināšana.

Aplūkosim vispārīgu funkciju ${\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$ ar mainīgu bāzi un mainīgu kāpinātāju. Lai to varētu atvasināt, funkciju vispirms logaritmēsim ar bāzi e:

${\mathit{lny}=\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$

Izmantosim logaritmu īpašību ${\mathit{ln}a}^b=b\cdot \mathit{ln}a$:

$\mathit{ln}y=g\left(x\right)\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)$

Atvasināsim abas vienādojuma puses:

$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }={\left(g\left(x\right)\mathit{ln}\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\prime }$

No pēdējās sakarības izteiksim:

$y^{\prime }=y\cdot \left(g^{\prime }\left(x\right)\cdot \mathit{ln}f\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot \frac{1}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)\right)$

$y^{\prime }=y\cdot \left(g^{\prime }\left(x\right)\cdot \mathit{ln}f\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right)$

 jeb

$y^{\prime }=\left(g^{\prime }\left(x\right)\cdot \mathit{ln}f\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right)\cdot {\left(f\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$