Teorija

Logaritmisko atvasināšanu lieto, ja gan funkcijas bāze, gan kāpinātājs ir mainīgi lielumi.

Apskatīsim funkciju y=xx. Tās atvasināšanai neder pakāpes funkcijas atvasināšanas formula xα=αxα1, ne arī eksponentfunkcijas atvasināšanas formula ax=axlna, jo pakāpes funkcijai kāpinātājs α ir konstants skaitlis, eksponentfunkcijai – bāze a ir konstante.

Tāpēc, lai atvasinātu funkciju y=xx, jāizmanto cita metode- logaritmiskā atvasināšana.

Aplūkosim vispārīgu funkciju fxgx ar mainīgu bāzi un mainīgu kāpinātāju. Lai to varētu atvasināt, funkciju vispirms logaritmēsim ar bāzi e:

lny=lnfxgx

Izmantosim logaritmu īpašību lnab=blna:

lny=gxlnfx

Atvasināsim abas vienādojuma puses:

1yy=gxlnfx

Tātad vispārināti:
y=ygxlnfx

No pēdējās sakarības izteiksim:

y=ygxlnfx+gx1fxfx

y=ygxlnfx+gxfxfx

 jeb

y=gxlnfx+gxfxfxfxgx

Atvasināt y=xx!

Risinājums:
lny=lnxxlny=xlnx1yy=1lnx+x1xy=lnx+1yy=lnx+1xx