Teorija

Reizināšana un dalīšana
trigonometriskajā formā un eksponentformā
 
Reizinot divus kompleksus skaitļus z1=r1cosϕ1+isinϕ1 un z2=r2cosϕ2+isinϕ2, reizinājuma z=z1z2 modulis sanāk moduļu reizinājums un reizinājums sanāk argumentu summa:
r=r1r2 un ϕ=ϕ1+ϕ2
Dalot divus kompleksus skaitļus z1=r1cosϕ1+isinϕ1 un z2=r2cosϕ2+isinϕ2, dalījuma z=z1z2 modulis sanāk moduļu dalījums un arguments sanāk argumentu starpība:
r=r1r2 un ϕ=ϕ1ϕ2
 
Pierādījums
Pieņemsim, ka doti divi kompleksie skaitļi trigonometriskajās formās: r1cosϕ1+isinϕ1 un r2cosϕ2+isinϕ2
Vispirms aprēķināsim to reizinājumu, pēc tam dalījumu. (Tur izmantotas summas un starpības kosinusa un sinusa formulas.)
z1z2=r1cosϕ1+isinϕ1r2cosϕ2+isinϕ2==r1r2cosϕ1cosϕ2sinϕ1sinϕ2+isinϕ1cosϕ2+sinϕ2cosϕ1==r1r2cosϕ1+ϕ2+isinϕ1+ϕ2z1z2=r1cosϕ1+isinϕ1r2cosϕ2+isinϕ2==r2cosϕ2+isinϕ2cosϕ2isinϕ2r2cosϕ2+isinϕ2cosϕ2isinϕ2==r1r2cosϕ1cosϕ2+sinϕ1sinϕ2+isinϕ1cosϕ2cosϕ1sinϕ2cos2ϕ2+sin2ϕ2==r1r2cosϕ1ϕ2+isinϕ1ϕ2
 
 
Svarīgi!
Pēc reizināšanas vai dalīšanas argumenta vērtība ir jāpiemēro nosacījumam π<ϕπ, pieskaitot 2πk, kur k ir vesels skaitlis.
 
Tādas pašas sakarības attiecas arī uz kompleksiem skaitļiem eksponentformā, kurus arī apraksta ar moduļa un argumenta vērtībām.
r1eiϕ1r2eiϕ2=r1r2eiϕ1+ϕ2r1eiϕ1r2eiϕ2=r1r2eiϕ1ϕ2