4. Darbības ar kompl. sk. trigonometriskā formā

Reizināšana un dalīšana
trigonometriskajā formā un eksponentformā

Reizinot divus kompleksus skaitļus

z_{1} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})

z_{2} = r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2})

, reizinājuma

z = z_{1} z_{2}

modulis sanāk moduļu reizinājums un reizinājums sanāk argumentu summa:

r = r_{1} r_{2}

ϕ = ϕ_{1} + ϕ_{2}

Dalot divus kompleksus skaitļus

z_{1} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})

z_{2} = r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2})

, dalījuma

z = \frac{z_{1}}{z_{2}}

modulis sanāk moduļu dalījums un arguments sanāk argumentu starpība:

r = \frac{r_{1}}{r_{2}}

ϕ = ϕ_{1} - ϕ_{2}

Pierādījums

Pieņemsim, ka doti divi kompleksie skaitļi trigonometriskajās formās:

r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})

r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2})

Vispirms aprēķināsim to reizinājumu, pēc tam dalījumu. (Tur izmantotas summas un starpības kosinusa un sinusa formulas.)

\begin{array}{l} z_{1} z_{2} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1}) \cdot r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) = \\ = r_{1} r_{2} \cdot ((\cos ϕ_{1} \cos ϕ_{2} - \sin ϕ_{1} \sin ϕ_{2}) + i (\sin ϕ_{1} \cos ϕ_{2} + \sin ϕ_{2} \cos ϕ_{1})) = \\ = r_{1} r_{2} (\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} + ϕ_{2})) \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})}{r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2})} = \\ = \frac{r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1}) \cdot (\cos ϕ_{2} - i \sin ϕ_{2})}{r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) \cdot (\cos ϕ_{2} - i \sin ϕ_{2})} = \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{(\cos ϕ_{1} \cos ϕ_{2} + \sin ϕ_{1} \sin ϕ_{2}) + i (\sin ϕ_{1} \cos ϕ_{2} - \cos ϕ_{1} \sin ϕ_{2})}{\cos^{2} ϕ_{2} + \sin^{2} ϕ_{2}} = \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos (ϕ_{1} - ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} - ϕ_{2})) \end{array}

Svarīgi!

Pēc reizināšanas vai dalīšanas argumenta vērtība ir jāpiemēro nosacījumam

- π < ϕ \leq π

, pieskaitot

2 π k

, kur k ir vesels skaitlis.

Tādas pašas sakarības attiecas arī uz kompleksiem skaitļiem eksponentformā, kurus arī apraksta ar moduļa un argumenta vērtībām.

\begin{array}{l} r_{1} e^{i ϕ_{1}} \cdot r_{2} e^{i ϕ_{2}} = (r_{1} r_{2}) e^{i (ϕ_{1} + ϕ_{2})} \\ \frac{r_{1} e^{i ϕ_{1}}}{r_{2} e^{i ϕ_{2}}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}}) e^{i (ϕ_{1} - ϕ_{2})} \end{array}

Atradi kļūdu?