Komplekso skaitļu kāpināšana — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Kāpināšana ar naturālu kāpinātāju un saknes

Ja kompleksais skaitlis z ir dots trigonometriskajā formā (

r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

) vai eksponentformā (

r e^{i ϕ}

), tad kāpināšanai naturālā pakāpē n var iegūt šādas divas formulas (ja izmanto reizināšanas likumu):

\begin{array}{l} z^{n} = r^{n} (\cos (n ϕ) + i \sin (n ϕ)) \\ z^{n} = r^{n} e^{in ϕ} \end{array}

Piemērs:

\begin{array}{l} z = 1 + \sqrt{3} i \\ r = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2 \\ \{\begin{cases} \frac{a}{r} = \frac{1}{2} = \cos \frac{π}{3} \\ \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{π}{3} \end{cases} \Rightarrow ϕ = \frac{π}{3} \\ z = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \\ z^{7} = 2^{7} (\cos (7 \cdot \frac{π}{3}) + i \sin (7 \cdot \frac{π}{3})) = \\ = 128 (\cos \frac{7 π}{3} + i \sin \frac{7 π}{3}) = \\ = 128 (\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \\ = 64 + 64 \sqrt{3} i \end{array}

Svarīgi!

Vienādību

{(\cos ϕ + i \sin ϕ)}^{n} = \cos (n ϕ) + i \sin (n ϕ)

sauc par Muavra formulu.

Atradi kļūdu?

5. Komplekso skaitļu kāpināšana