6. Kompleksā skaitļa saknes aprēķināšana

Kompleksā skaitļa saknes aprēķināšana

Par n-tās pakāpes sakni no kompleksa skaitļa z sauc tādu kompleksu skaitli, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar z:

\sqrt[n]{z} = w

, ja

w^{n} = z

Pieņemsim, ka kompleksais skaitlis ir izteikts trigonometriskā formā

z = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

, un meklēsim tā n-tās pakāpes sakni

w = ρ (\cos α + i \sin α)

. No vienādības

w^{n} = z

sanāk, ka

ρ^{n} (\cos (n α) + i \sin (n α)) = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)

No vienādības izriet, ka

ρ^{n} = r

n α = ϕ + 2 π k, k \in ℤ

. Jeb

ρ = \sqrt[n]{r}

α = \frac{ϕ}{n} + \frac{2 π k}{n}

. Un šeit ir iespējamas n dažādas saknes vērtības.

Svarīgi!

Saknes aprēķināšanas formula:

\sqrt[n]{r (\cos ϕ + i \sin ϕ)} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{ϕ + 2 π k}{n} + i \sin \frac{ϕ + 2 π k}{n})

, kur

k = 0, 1, ..., n - 1

Piemērs:

\begin{array}{l} \sqrt[4]{1} = \sqrt[4]{1 + 0 i} = \\ = \sqrt[4]{1 (\cos 0 + i \sin 0)} = \\ = \cos \frac{0 + 2 π k}{4} + i \sin \frac{0 + 2 π k}{4}, kur k = 0, 1, 2, 3 \\ ja k = 0, \sqrt[4]{1} = \cos 0 + i \sin 0 = 1 + 0 i = 1 \\ ja k = 1, \sqrt[4]{1} = \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} = 0 + 1 i = i \\ ja k = 2, \sqrt[4]{1} = \cos π + i \sin π = - 1 + 0 i = - 1 \\ ja k = 3, \sqrt[4]{1} = \cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2} = 0 - 1 i = - i \end{array}

Atradi kļūdu?