Triju lineāru vienādojumu sistēma — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Pieņem, ka ir dota trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem \(x\), \(y\) un \(z\).

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}

Skaitļus

a_{i}

b_{i}

c_{i}

,ja \(i=1,2,3\), sauc par koeficientiem.

Skaitļus

d_{i}

, ja \(i=1,2,3\), sauc par brīvajiem locekļiem.

Skaitli

Δ

|\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}|

sauc par sistēmas determinantu. Tas sastādīts no koeficientiem pie nezināmajiem \(x\), \(y\) un \(z\).

Skaitļus

Δ_{x}

|\begin{array}{l} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}|

Δ_{y}

|\begin{array}{l} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{array}|

Δ_{z}

|\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{array}|

sauc par nezināmo determinantiem. Nezināmo determinantus iegūst no sistēmas determinanta, aizvietojot tajā koeficientu pie atbilstoša nezināmā ar brīvajiem locekļiem

d_{1}

d_{2}

d_{3}

Sistēmai ir atrisinājums, kuru var aprēķināt pēc Krāmera formulām:

x = \frac{Δ_{x}}{Δ}

y = \frac{Δ_{y}}{Δ}

z = \frac{Δ_{z}}{Δ}

Piemērs:

\{\begin{cases} 5 x + 3 y - z = - 1 \\ x - y + z = 0 \\ 2 x - 3 y - z = 5 \end{cases}

Δ = |\begin{array}{l} 5 & 3 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & - 3 & - 1 \end{array}| = 30

Δ_{x} = |\begin{array}{l} - 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & - 1 \end{array}| = 6

Δ_{y} = |\begin{array}{l} 5 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 1 \end{array}| = - 33

Δ_{z} = |\begin{array}{l} 5 & 3 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 2 & - 3 & 5 \end{array}| = - 39

x = \frac{Δ_{x}}{Δ} = \frac{6}{30} = 0,2

y = \frac{Δ_{y}}{Δ} = \frac{- 33}{30} = - 1,1

z = \frac{Δ_{z}}{Δ} = \frac{- 39}{30} = - 1,3

Atbilde:

\(x = 0,2\); \(y = -1,1\); \(z = -1,3\)

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Triju lineāru vienādojumu sistēma

Teorija