Teorija

Logaritmisko atvasināšanu lieto, ja gan funkcijas bāze, gan kāpinātājs ir mainīgi lielumi.
 
Apskatīsim funkciju y=xx. Tās atvasināšanai neder pakāpes funkcijas atvasināšanas formula xα=αxα1, ne arī eksponentfunkcijas atvasināšanas formula ax=axlna, jo pakāpes funkcijai kāpinātājs \(α\) ir konstants skaitlis, eksponentfunkcijai – bāze \(a\) ir konstante.

Tāpēc, lai atvasinātu funkciju y=xx, jāizmanto cita metode - logaritmiskā atvasināšana.

Aplūkosim vispārīgu funkciju fxgx ar mainīgu bāzi un mainīgu kāpinātāju. Lai to varētu atvasināt, funkciju vispirms logaritmēsim ar bāzi \(e\): lny=lnfxgx

Izmantosim logaritmu īpašību lnab=blna:

lny=gxlnfx

Atvasināsim abas vienādojuma puses: 1yy=gxlnfx

Svarīgi!

Tātad vispārināti:

y=ygxlnfx

No pēdējās sakarības izteiksim:

y=ygxlnfx+gx1fxfx

y=ygxlnfx+gxfxfx

 jeb

y=gxlnfx+gxfxfxfxgx

Piemērs:

Atvasināt y=xx!

Risinājums:

lny=lnxxlny=xlnx1yy=1lnx+x1xy=lnx+1yy=lnx+1xx