Teorija

Pieņemsim, ka zīmējumā attēlotā līnija ir nepārtrauktas funkcijas \(y = f (x)\) grafiks.

ziim.png

Caur līnijas punktiem M0 un M novilksim taisni M0M. Šo taisni sauc par sekanti. Ar β apzīmēsim leņķi, ko šī sekante veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu. Pieņemsim, ka punkts M pārvietojas pa līniju, tuvojoties punktam M0, kurš ir nekustīgs. Tādā gadījumā arī sekante mainās. Punktam M, nonākot punktā M0, sekante M0M kļūst par līnijas pieskari punktā M0. Pieņemsim, ka pieskare ar \(Ox\) asi veido leņķi α.

Apskatīsim taisnleņķa trijstūri M0MN. Šajā trijstūrī leņķis MM0N = β, piekatete M0N sakrīt ar argumenta pieaugumu, t.i., M0N = Δx, pretkatete \(MN\) sakrīt ar funkcijas pieaugumu, t.i., \(MN\) = Δy. No sakarībām taisnleņķa trijstūrī seko, ka

tgβ=MNM0N=ΔyΔx

 

Ja Δx0, tad punkts MM0, sekante M0Mpieskare punktā M0, βα,tgβtgα jeb

tgα=limΔx0tgβ=limΔx0ΔyΔx=fx0

 

No analītiskās ģeometrijas kursa zināms, ka tangenss leņķim, ko taisne veido ar \(Ox\) asi, ir vienāds ar taisnes virziena koeficientu. Tātad funkcijas grafikam punktā M0x0,fx0 vilktās pieskares virziena koeficients sakrīt ar šīs funkcijas atvasinājumu punktā x0:

kp=tgα=fx0

Tā ir atvasinājuma ģeometriskā interpretācija.

Kā zināms no analītiskās ģeometrijas kursa, vienādojums taisnei, kas iet caur punktu M0x0,fx0 un kuras virziena koeficients ir \(k\), ir

yfx0=kxx0jeby=fx0+k(xx0).

 

Atsauce:

Avots: Augstākā matemātika/ Inta Volodko. -Rīga, Zvaigzne ABC, 2007. -293 lpp.