Teorija

Funkcijas atvasinājums
Funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli, sauc par funkcijas atvasinājumu.
 
Funkcijas y=f(x) atvasinājumu apzīmē ar vienu no simboliem:
y,fx,dydx,ddxfx.

Funkcijas atvasinājuma atrašanu sauc par funkcijas atvasināšanu vai diferencēšanu.

Svarīgi!

Lai noteiktu funkcijas atvasinājumu:

1) nosaka argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu

Δy=fx+Δxfx;

2) sastāda funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību ΔyΔx un vienkāršo to;

3) aprēķina šīs attiecības robežu, kad Δx0.

Kāpēc lieto atvasinājumu?

Pieņemsim, ka materiāls punkts kustas nevienmērīgi pa taisni. Tad, izvēloties kustības taisni par koordinātu asi, punkta stāvokli katrā laika momentā t raksturo punkta koordināta \(x\) ( skat. zīm.).
 
Untitled.png
Funkciju \(x = x(t)\), kas izsaka materiāla punkta koordinātas \(x\) atkarību no laika \(t\), sauc par materiāla punkta kustības likumu. Pieņemsim, ka laikā Δt materiāls punkts veic ceļu  Δx, t.i. laika momentā t+Δt punkta koordināta ir xt+Δx=xt+Δt. Tad punkta vidējo ātrumu var aptuveni aprēķināt pēc formulas

 vvid=ΔxΔt=x(t+Δt)x(t)Δt.

Punkta momentāno ātrumu iegūsim, samazinot laiku Δt līdz nullei, t.i., aprēķinot robežu, kad Δt0. Tātad materiāla punkta momentānais ātrums ir

vmom=limΔt0ΔxΔt=limΔt0xt+Δtx(t)Δt.
 
Faktiski šī formula arī definē funkcijas atvasinājumu. Taču to nodefinēsim patvaļīgai funkcijai y=f(x). Pieņemsim, ka šī funkcija ir definēta kādā punktā x un tā apkārtnē. Izmainīsim x par Δx. Tad funkcija mainās par Δy=fx+Δxfx. Sastādīsim attiecību
 
ΔyΔx=fx+ΔxfxΔx.
 
Šo attiecību sauc par funkcijas maiņas vidējo ātrumu intervālā x;x+Δx un tā izsaka funkcijas izmaiņu, kas aprēķināta vienai argumenta izmaiņas vienībai.
 
 
  
Piemērs:
Noteikt funkcijas y=x3atvasinājumu!
1) noteiksim argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu:
 
Δy=x+Δx3x3=x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3x3=3x2Δx+3xΔx2+Δx3
 
2) noteiksim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:
 
ΔyΔx=3x2Δx+3xΔx2+Δx3Δx=Δx(3x2+3xΔx+Δx2)Δx=3x2+3xΔx+Δx2
 
3) aprēķināsim iegūtās attiecības robežu, kad Δx →0 :

y=limΔx0ΔyΔx=limΔx03x2+3xΔx+Δx2=3x2+3x0+02=3x2

Tātad

x3=3x2

Parasti funkcijas neatvasina pēc definīcijas, jo tas ir sarežģīts un laikietilpīgs process. To dara, izmantojot atvasināšanas formulas:

1.C=0,kurC=const2.lnx=1x3.logαx=1xlna4.ax=axlna5.ex=ex6.xα=αxα17.sinx=cosx8.cosx=sinx9.tgx=1cos2x10.ctgx=1sin2x11.arcsinx=11x212.arccosx=11x213.arctgx=11+x214.arcctgx=11+x215.shx=chx16.chx=shx17.thx=1ch2x18.cthx=1sh2x

Atsauce:
Augstākā matemātika/ Inta Volodko. -Rīga, Zvaigzne ABC, 2007. -293 lpp.