Teorija

Divu taišņu savstarpējais novietojums
 
Svarīgi!
Ja divu taišņu l1 un l2 vispārīgie vienādojumi ir A1x+B1y+C1=0 un A2x+B2y+C2=0, tad tās:
a) ir paralēlas vai sakrīt, ja A1A2=B1B2 (kur dalījums 00 var pieņemt jebkuru vērtību);
b) sakrīt, ja A1A2=B1B2=C1C2;
c) ir perpendikulāras, ja A1A2+B1B2=0.
 
Svarīgi!
Ja divu taišņu vienādojumi ar virziena koeficientu ir y=k1x+b1 un y=k1x+b2, tad tās:
a) ir paralēlas vai sakrīt, ja k1=k2;
b) sakrīt, ja k1=k2 un b1=b2;
c) ir perpendikulāras, ja k1k2=1.
 
Pamatojums vispārīgā vienādojuma gadījumā
 
a) Taisnes ir paralēlas (vai sakrīt) tad un tikai tad, ja to normālvektori n1=A1;B1 un n2=A2;B2 ir kolineāri (atrodas uz paralēlām taisnēm) un tātad to koordinātas ir proporcionālas.
No tā iegūst paralelitātes nosacījumu A1A2=B1B2.
 
b) Taisnes sakrīt tad un tikai tad, ja vienas vispārīgo vienādojumu var iegūt no otras vispārīgā vienādojuma, pareizinot to ar kādu nenulles konstanti λ0λA1x+λB1y+λC1=0 sakrīt ar vienādojumu A2x+B2y+C2=0.
No tā iegūst nosacījumu A1A2=B1B2=C1C2.
 
c) Taisnes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālvektori n1=A1;B1 un n2=A2;B2 ir perpendikulāri. Perpendikulāru vektoru skalārais reizinājums ir 0.
No tā iegūst nosacījumu A1A2+B1B2=0.
 
 
Pamatojums, ja ir vienādojumi ar virziena koeficientu
 
Taisnes virziena koeficientu var izteikt kā k=AB (ja B nav 0).
a) Tad paralelitātes (vai sakrišanas) nosacījumu iegūst šādi: A1A2=B1B2A1B1=A2B2A1B1=A2B2k1=k2
b) Ja taisnes sakrīt, tad to vienādojumi ar virziena koeficientu arī sakrīt: k1=k2unb1=b2
c) Perpendikularitātes nosacījumu iegūst šādi: A1A2+B1B2=0A1A2=B1B2A1B1A2B2=1k1k2=1