Teorija

Taisnes vispārīgais vienādojums
 
Taisnes vispārīgais vienādojums ir Ax+By+C=0 (kur A2+B20).
 
Vispirms pierādīsim, ka katrai taisnei atbilst šāda veida vienādojums.
 
Brīvi izvēlēsimies taisni l. Tad nofiksēsim kādu šīs taisnes punktu M0 un kādu tai perpendikulāru nenulles vektoru
n. Ja M ir brīvi izvēlēts šīs taisnes punkts (kas nav M0), tad vektori M0M un n ir perpendikulāri un tātad to skalārais reizinājums ir 0: n,M0M=0.
iegusana.PNG
Ja n=A;B, M0x0;y0 un Mx;y, tad M0M=xx0;yy0 un var izteikt skalāro reizinājumu ar koordinātām: Axx0+Byy0=0 jeb Ax+ByAx0By0=0. Apzīmējot izteiksmi Ax0By0 ar C, iegūstam taisnes vispārīgo vienādojumu Ax+By+C=0.
 
Pierādīsim arī, ka katram šāda veida vienādojumam atbilst kāda taisne.
 
Ja dots vienādojums Ax+By+C=0, paņemsim kādu punktu x0,y0, kura koordinātas ir šī vienādojuma risinājums. Tad Ax0+By0+C=0 jeb C=Ax0By0 un vienādojumu var pārrakstīt kā Ax+ByAx0By0=0.
Bet tas, kā iepriekš noskaidrojām, ir vienādojums taisnei, ja dots tās punkts M0x0;y0 un taisnei perpendikulārs vektors n=A;B.
 
Taisnei perpendikulāru vektoru sauc par tās normālvektoru.
 
Svarīgi!
Ja dots taisnes punkts M0x0;y0 un tai perpendikulārs vektors n=A;B, taisnes vienādojums ir Ax+ByAx0By0=0.
Un otrādi - no šāda vienādojuma var iegūt taisnei perpendikulāra vektora koordinātas: n=A;B.

Ja apzīmē punkta  M0 rādiusvektoru ar r0 un taisnes punktus apraksta ar to rādiusvektoru r, tad M0M=MOM0O=rr0 un no tā var iegūt taisnes vispārīgā vienādojuma vektoriālo pierakstu.
 
Svarīgi!
Taisnes vispārīgais vienādojums vektoriālā pierakstā ir  n,rr0=0 (kur n ir taisnes normālvektors, r0 ir kāda fiksēta taisnes punkta rādiusvektors un r ir jebkura taisnes punkta rādiusvektors).