Elipses ekscentritāte un fokālie rādiusi — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Elipses ekscentritāte, fokālie rādiusi

Skaitli

ϵ = \frac{c}{a}

, kur 2a ir elipses lielā ass un 2c ir attālums starp fokusiem, sauc par elipses ekscentritāti.

M (x; y)

ir brīvi izvēlēts elipses punkts, tad nogriežņus

F_{1} M = r_{1}

F_{2} M = r_{2}

sauc par punkta M fokāliem rādiusiem. (Skatīt attēlu.)

Svarīgi!

Fokālo rādiusu garumus var aprēķināt pēc formulām

r_{1} = a + ϵ x

r_{2} = a - ϵ x

Pierādījums

No elipses kanoniskā vienādojuma izsaka y vērtību, ja zināms x:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y = \frac{b}{a} \sqrt{a^{2} - x^{2}}

Tad izsaka un vienkāršo pirmā fokālā rādiusa vērtību, izmantojot arī sakarību

a^{2} = b^{2} + c^{2}

\begin{array}{l} r_{1} = \sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = \\ = \sqrt{x^{2} + 2 cx + c^{2} + {(\frac{b}{a})}^{2} (a^{2} - x^{2})} = \\ = \sqrt{x^{2} + 2 cx + c^{2} + b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}} = \\ = \sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} x^{2} + 2 cx + c^{2} + b^{2}} = \\ = \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2} + 2 cx + a^{2}} = \sqrt{{(\frac{c}{a} x + a)}^{2}} = |\frac{c}{a} x + a| \end{array}

Turklāt

\frac{c}{a} x + a \geq \frac{c}{a} \cdot (- a) + a = - c + a = a - c \geq 0

, tāpēc

r_{1} = \frac{c}{a} x + a = ϵ x + a = a + ϵ x

Tāpat aprēķina vērtību arī otram fokālam rādiusam

r_{2} = a - ϵ x

Atradi kļūdu?

3. Elipses ekscentritāte un fokālie rādiusi