Teorija

Piepūļu noteikšana plakanās kopnēs

Vispārīgie jēdzieni

Par kopni sauc sistēmu, kas sastāv no taisniem, savā starpā galos savienotiem stieņiem. Savienojuma vietas sauc par mezgliem.

Kopņu uzdevums, līdzīgi kā sijām, ir pārsegt vērā ņemamus laidumus. Kopnes vienmēr ir vieglākas par atbilstošām sijām pie uzdotas slodzes un laiduma (attāluma starp balstiem).

Mezglus, kas pārnes slodzi uz balstiem, sauc par balsta mezgliem, pārējos — par starpmezgliem.

Katrs kopnes stienis savieno divus mezglus. Stieņi, kuri ierobežo kopnes kontūru no augšas, veido kopnes augšējo joslu, bet stieņi, kuri ierobežo kopnes kontūru no apakšas, apakšējo joslu. Stieņus, kuri atrodas starp augšējo un apakšējo joslu, sauc par režģi. Režģa vertikālos stieņus sauc par statiem, bet slīpos — par atgāžņiem. Attālumu starp kopnes balstu locīklu centriem sauc par laidumu. Attālumu starp joslas blakus mezgliem sauc par paneļa garumu. Vislielāko attālumu starp kopnes augšējo un apakšējo joslu sauc par kopnes augstumu. Laidumu apzīmē ar burtu l, paneļa garumu — ar d, kopnes augstumu — ar h.
 
Nosakot piepūles kopnes stieņos tiek izmantotas sekojošas izejas hipotēzes:

1. stieņi galos savā starpā savienoti ar ideālām locīklām;

Pētījumi rāda, ka papildus spriegumi, kurus rada stingie savienojumi, nav būtiski, jo sastāda tikai dažus procentus no spriegumiem locīklveida kopnēs.

2. visa slodze pielikta tikai kopnes mezglos (arī pašsvars);

Pamatojoties uz šo un iepriekšējo pieņēmumu visos kopnes stieņos ir iespējama tikai ass stiepe vai spiede (vienīgā iespējamā iekšējā piepūle ir aksiālspēks N).

3. kopnei deformējoties locīklu pārvietojumi ir tik mazi, ka tos var neņemt vērā attiecībā uz kopnes formas maiņu.

Tas dod iespēju pielietot kopnēm spēku darbības neatkarības principu.

Kopnes izmanto ēku jumtos, stāvu pārsegumos, karkasos, tiltos, celtņos, torņos un citās konstrukcijās. Visbiežāk kopnes izgatavo no tērauda vai dzelzsbetona.

 

Kopņu klasifikācija


sheema_kopnu_klasifik.png

Kopņu analītiskais aprēķins


Balstu reakcijas un iekšējās piepūles visos kopnes stieņos nosaka no statikas līdzsvara vienādojumiem (skat. 1. tēmu), kurus var sastādīt projekciju vai momentu vienādojumu veidā.

Svarīgi!
Lai aprēķinātu piepūles kopnes stieņos izmanto šķēlumu metodi - atšķeļ kādu kopnes daļu (vai atsevišķu mezglu) un apskata šīs daļas līdzsvaru ārējo spēku un iekšējo piepūļu darbības rezultātā. Piepūles, kuras darbojas šķēlumā, aizstāj atmestās kopnes daļas iedarbību uz apskatāmo daļu.
Piepūles attēlo ar bultām, kuras vērstas prom no mezgla, t.i., pieņem, ka visi stieņi ir stiepti. Ja aprēķinu rezultātā tiek iegūta pozitīva piepūles vērtība, stienis ir stiepts, bet, ja tiek iegūta negatīva vērtība, tad stienis ir spiests.

Šķēlumi, projekciju asis un momentpunkti pēc iespējas jāizvēlas tā, lai katrs līdzsvara vienādojums saturētu tikai vienu nezināmu piepūli un nebūtu jārisina vienādojumu sistēma ar vairākiem nezināmajiem.
Ieteicams izvēlēties tādus šķēlumus, lai kopne tiktu sadalīta divās daļās tā, ka tiek pārgriezti ne vairāk kā trīs stieņi (šķēlumi 1-1 un 2-2) vai arī tiek izgriezts kāds no mezgliem (šķēlumi 3-3 un 4-4).

kopne.png

Atkarībā no izvēlētā šķēluma veida un pielietotajiem līdzsvara vienādojumiem iegūstam dažādas kopnes stieņu iekšējo piepūļu noteikšanas metodes.

Svarīgi!
Ja kopne slogota ar izkliedēto slodzi (att. a), tad, uzsākot  aprēķinu, slodze q jāpārveido par koncentrētiem spēkiem, kas pielikti kopnes mezglos (att. b). Ja izkliedētā slodze izvietota paneļos uz abām pusēm no mezgla, koncentrētā spēka lielums ir P=qd (kN), ja uz vienu P=qd/2 (kN):

a)
uzd3.png

b)
uzd3-1.png

Momentpunktu metode


To izmanto, ja ir iespējams pāršķelt kopni tā, lai tiktu šķelti tikai trīs stieņi, no kuriem ik divi pa pāriem krustojas vienā punktā. Kopni ar šķēlumu sadala divās daļās un vienu daļu atmet (parasti to, kurai pielikts lielāks skaits ārējo spēku). Atlikušās daļas līdzsvaru jānodrošina pagaidām nezināmajām piepūlēm pārgrieztajos stieņos (iekšējās piepūles var noteikt tikai pārgrieztajos stieņos).

Svarīgi!
Atšķeltajai kopnes daļai pārgriezto stieņu asu virzienos pieliek trīs nezināmas piepūles, attēlojot tās kā stiepes spēkus (virziens no mezgliem). Šie spēki aizstāj atmestās kopnes daļas iedarbību uz apskatāmo daļu. Nezināmās iekšējās piepūles trijos pārgrieztajos stieņos nosaka no momentu līdzsvara vienādojumiem.

Līdzsvara vienādojumi jāsastāda tā, lai katrā vienādojumā būtu tikai viena nezināma iekšējā piepūle. Tādēļ, lai noteiktu kādu no nezināmajām piepūlēm, momentu vienādojums jāsastāda pret punktu, kurā krustojas pārējo divu piepūļu darbības līnijas. Šo punktu sauc par momentpunktu, jeb Ritera punktu.  

Piemērs:

Aprēķināt piepūles attēlā parādītajai kopnei ar šķēlumu 1-1 pāršķeltajos stieņos!

2.jpg 

Atmetam kopnes kreiso daļu un analizējam labās daļas līdzsvaru. Nezināmās piepūļu vērtības kopnes labajai daļai pieliekam pozitīvā virzienā (no mezgliem), pieņemot, ka stieņi ir stiepti. Stieņu un piepūļu apzīmēšanai var izmantot mezglu numerāciju.

2.png 

Lai iegūtu piepūles vērtību augšējās joslas stienī N23, par momentpunktu jāņem punkts, kurā krustojas divu pārējo pārgriezto stieņu darbības līnijas, tas ir mezgls 5. Šādā gadījumā līdzsvara vienādojums saturēs tikai vienu nezināmu piepūli N23:

M5=P3d/2VBdN23r5=0
 
kur r5 – piepūles N23 plecs pret mezglu 5 (minimālais attālums no spēka darbības līnijas līdz punktam, pret kuru tiek rēķināts moments).

Iegūtā piepūles N23 vērtība:

N23=(P3/2VB)d/r5

ir negatīva, tātad stienis N23 ir spiests (raksturīgi stieņiem, kuri veido augšējo joslu).
Lai iegūtu piepūles vērtību apakšējās joslas stienī N45
par momentpunktu līdzīgā veidā jāņem punkts, kurā krustojas divu pārējo pārgriezto stieņu darbības līnijas. Tas ir mezgls 2:
M2=VB3d/2PdN45r2

Nosakot piepūli atgāznī N25, momentpunkts atrodas ārpus kopnes robežām – punktā k:

Mk=P3(a+d/2)VBaD3rk=0

Iegūstam piepūles vērtību
N25=P3(a+d/2)VBark

Projekciju metode
Svarīgi!
Lietojot projekciju metodi, kopni ar šķēlumu sadala divās daļās un apskatāmajai kopnes daļai pielieto projekciju līdzsvara vienādojumus uz vienu vai divām asīm.
Projekciju metodi ir lietderīgi lietot, piemēram, ja kādā kopnes stienī piepūli nevar noteikt ar momentpunktu metodi, piemēram, kopnei ar paralēlām joslām.

Piemērs:
Noteikt piepūles statā 2-6 un atgāznī 2-7 attēlā dotajai kopnei ar paralēlām joslām.

image.jpg
Piepūles režģa stieņos lietderīgi noteikt izmantojot projekciju metodi. Lai noteiktu piepūli statā 2-6 šķeļam kopni ar šķēlumu 1-1 un apskatam kopnes kreisās daļas līdzsvaru. Sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi:
Y=P/2VAN26=0

no kura, ņemot vērā, ka VA = 2P, iegūstam:
N26=3P/2

Tātad stienis
N26 ir spiests.

Lai noteiktu piepūli atgāznī 2-7, šķeļam kopni ar šķēlumu 2-2 un sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi kreisajai kopnes daļai:
Y=VAP/2PN27=0
no kura iegūstam
N27=P/2sinϕ

Stienis N27
 ir stiepts. Nosakot N27 vērtību, līdzsvara vienādojumā tika izmantota piepūles N27 vertikālā komponente N27sinϕ

Mezglu izgriešanas metode 
Svarīgi!
Mezglu izgriešanas metode ir projekciju metodes speciālgadījums, kad šķēlumu izvēlas tā, lai no kopnes atdalītu atsevišķu mezglu. To lieto, ja apskatāmajā mezglā saejošajos stieņos ir ne vairāk kā divas nezināmas piepūles, jo mezglam var sastādīt tikai divus neatkarīgus projekciju līdzsvara vienādojumus.

Piemērs:
Noteiksim attēlā parādītajai trīsstūrveida kopnei piepūles stieņos A-1 un A-4, izmantojot mezglu izgriešanas metodi.

mezglumet.jpg

Lai aprēķinātu piepūli stienī A-1, sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi kreisajai atšķeltajai kopnes daļai (att. b):
 
Y=P/22PNA1sinα=0

No šī vienādojuma iegūstam:

NA1=3P/2sinα

Tātad, stienis A-1 ir spiests un pareizais piepūles 
 virziens ir pretējs izvēlētajam (tas ir vērsts uz mezglu A).
Lai aprēķinātu piepūli stienī A-4, sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz horizontālu asi:
X=NA4+NA1cosα=NA43Pctgα/2=0

No tā izsaka:

NA4=3Pctgα/2

Stienis A-4 ir stiepts.