Kombinācijas — teorija. Matemātika, 11. klase.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Par kombinācijām no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem (

m \leq n

) sauc nesakārtotu dotās kopas \(m\) elementu izlasi.

Kombināciju skaitu apzīmē ar

C_{n}^{m}

(lasa: kombinācijas no \(n\) pa \(m\)).

Kombinācijas aprēķina pēc formulas

C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

Doti trīs elementi

1. Cik veidos var izvēlēties divus no tiem, ja nav svarīga secība?

To var izdarīt \(3\) veidos -

;

, pēc formulas:

C_{3}^{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2!}{2! \cdot 1!} = 3

2. Cik veidos varam izvēlēties vienu no elementiem, ja nav svarīga secība?

Arī to var izdarīt \(3\) veidos -

;

, pēc formulas:

C_{3}^{1} = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} = 3

Piemērs:

Cik veidos no \(12\) skolēniem var izvēlēties \(3\) skolēnus?

Risinājums:

Tā kā secība, kādā skolēni tiek izvēlēti nav svarīga, tad meklējamais skaits ir kombinācijas no \(12\) elementiem pa \(3\) elementiem, t.i. \(n = 12\) un \(m = 3\).

C_{12}^{3} = \frac{12!}{3! (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1320}{6} = 220

Atbilde: No \(12\) skolēniem \(3\) skolēnus var izvēlēties \(220\) dažādos veidos!

Piemērs:

No \(6\) cilvēkiem (\(2\) sievietēm un \(4\) vīriešiem) ir jāizvēlas \(1\) sieviete un \(2\) vīrieši. Cik veidos to var izdarīt?

Risinājums:

Tā kā, izvēloties cilvēkus, nav svarīga secība, kādā šie cilvēki tiek izvēlēti, tad jānosaka skaits, cik veidos no \(2\) sievietēm var izvēlēties vienu un cik veidos no \(4\) vīriešiem var izvēlēties divus.

Kombināciju skaits sievietēm (\(n = 2\) un \(m = 1\))

C_{2}^{1} = \frac{2!}{1! (2 - 1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{2}{1} = 2

Kombināciju skaits vīriešiem (\(n = 4\) un \(m = 2\))

C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4}{2! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 2} = \frac{12}{2} = 6

Lai iegūtu atbildi, jālieto reizināšanas likums:

C_{2}^{1} \cdot C_{4}^{2} = 2 \cdot 6 = 12

Atbilde: No dotajiem \(6\) cilvēkiem \(1\) sievieti un \(2\) vīriešus var izvēlēties \(12\) dažādos veidos

Piemērs:

Četriem domino spēlētājiem vienādi sadala \(28\) kauliņus. Cik veidos var sadalīt domino kauliņus?

Risinājums:

Pirmajam spēlētājam kauliņus var iedalīt

C_{28}^{7}

veidos.

Otrajam spēlētājam kauliņus var iedalīt

C_{21}^{7}

veidos.

Trešajam spēlētājam kauliņus var iedalīt

C_{14}^{7}

veidos.

Ceturtajam spēlētājam kauliņus var iedalīt

C_{7}^{7} = 1

veidā.

Pavisam kauliņus var iedalīt

C_{28}^{7} \cdot C_{21}^{7} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{7}^{7}

veidos.

Kombināciju, variāciju un permutāciju skaita saistība

Kombinācijas no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem iegūst, ja no variācijām, kas izveidotas no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem, izslēdz tās izlases, kuras atšķiras tikai ar elementu kārtību.

C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{P_{m}}

Noskaties video:

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

4. Kombinācijas

Teorija